Question

袋中裝有大小相等的3個白球，2個紅球和n個黑球，現從中任取2個球，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，每取得一個黑球0分，用ξ表示所得分數，已知得0分的概率為．
（Ⅰ）袋中黑球的個數n；
（2）ξ的概率分布列及數學期望Eξ．
（3）求在取得兩個球中有一個是紅球的條件下，求另一個是黑球的概率．

Answer 1

解：（1）∵，…（3分）
∴n²-3n-4=0，解得n=-1（舍去）或n=4，
即袋中有4個黑球． …（4分）
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4．
∵，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
，
…（7分）
∴ξ的概率分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P

…（9分）
（3）記摸出的兩個球中有一個紅球為事件A，有一個黑球為事件B，則為兩個球都不是紅球．
所以兩個球中有一個是紅球的概率為，
兩個球為一紅一黑為事件A∩B，其概率，
所以在取得的兩個球中有一個紅球的條件下，另一個是黑球的概率為：
．（12分）
分析：（1）由，知n²-3n-4=0，由此能求出袋中有黑球個數．
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4.，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，，．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
（3）記摸出的兩個球中有一個紅球為事件A，有一個黑球為事件B，則為兩個球都不是紅球．所以兩個球中有一個是紅球的概率為，兩個球為一紅一黑的概率，由此能求出取得的兩個球中有一個紅球的條件下，另一個是黑球的概率．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，注意條件概率的性質和應用．