Question

在數列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p為常數），則稱{a_n}為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的判斷；
①若{a_n}是等方差數列，則{a_n²}是等差數列；
②{（-1）ⁿ}是等方差數列；
③若{a_n}是等方差數列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數）也是等方差數列；
④若{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列．
其中正確命題序號為______．（將所有正確的命題序號填在橫線上）

Answer 1

①因為{a_n}是等方差數列，所以a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p為常數）成立，
得到{a_n²}為首項是a₁²，公差為p的等差數列；
②因為a_n²-a_n-1²=（-1）²ⁿ-（-1）^2n-1=1-（-1）=2，所以數列{（-1）ⁿ}是等方差數列；
③數列{a_n}中的項列舉出來是：a₁，a₂，…，a_k，a_k+1，a_k+2，…，a_2k，…，a_3k，…
數列{a_kn}中的項列舉出來是：a_k，a_2k，a_3k，…
因為a_k+1²-a_k²=a_k+2²-a_k+1²=a_k+3²-a_k+2²=…=a_2k²-a_k²=p
所以（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=a_2k²-a_k²=kp，
類似地有a_kn²-a_kn-1²=a_kn-1²-a_kn-2²=…=a_kn+3²-a_kn+2²=a_kn+2²-a_kn+1²=a_kn+1²-a_kn²=p
同上連加可得a_kn+1²-a_kn²=kp，所以，數列{a_kn}是等方差數列；
④{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，所以a_n²-a_n-1²=p，且a_n-a_n-1=d（d≠0），所以a_n+a_n-1=

p

d

，聯立解得a_n=

d

2

+

p

2d

，
所以{a_n}為常數列，當d=0時，顯然{a_n}為常數列，所以該數列為常數列．
綜上，正確答案的序號為：①②③④
故答案為：①②③④