Question

在數列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p為常數），則稱{a_n}為“等方差數列”，下列是對“等方差數列”的判斷；
①若{a_n}是等方差數列，則{a_n²}是等差數列；
②{（-1）ⁿ}是等方差數列；
③若{a_n}是等方差數列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數）也是等方差數列；
④若{a_n}既是等方差數列，又是等差數列，則該數列為常數列．
其中正確命題序號為（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①②③④
• D、②③④

Answer 1

分析：根據等方差數列的定義①{a_n}是等方差數列，則a_n²-a_n-1²=p（p為常數），根據等差數列的定義，可證；②驗證[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²是一個常數；③驗證a_kn+1²-a_kn²是一個常數；④根據等方差數列和等差數列的定義，證明公差是零即可．

解答：解：①∵{a_n}是等方差數列，∴a_n²-a_n-1²=p（p為常數）得到{a_n²}為首項是a₁²，公差為p的等差數列；
∴{a_n²}是等差數列；
②數列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，
∴{（-1）ⁿ}是等方差數列；故②正確；
③數列{a_n}中的項列舉出來是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
數列{a_kn}中的項列舉出來是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴（a_kn+1²-a_kn²）=kp
∴{a_kn}（k∈N^*，k為常數）是等方差數列；故③正確；
④∵{a_n}既是等差數列，∴a_n-a_n-1=d，
∵{a_n}既是等方差數列，，∴a_n²-a_n-1²=p
∴（a_n+a_n-1）d=p，
1°當d=0時，數列{a_n}是常數列，
2°當d≠0時，a_n=

d

2

+

p

2d

，數列{a_n}是常數列，
綜上數列{a_n}是常數列，故④正確，
故選C．

點評：本題考查等差數列的定義及其應用，解題時要注意掌握數列的概念，屬基礎題．