Question

如圖，反比例函數y=f（x）（x＞0）的圖象過點A（1，4）和B（4，1），點P（x，y）為該函數圖象上一動點，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為C、D．記四邊形OCPD（O為坐標原點）與三角形OAB的公共部分面積為S．
（1）求S關于x的表達式；
（2）求S的最大值及此時x的值．

Answer 1

分析：（1）根據圖象求得反比例函數模型，由題設，得f(x)=

4

x

（x＞0），再分x≤1時，1＜x＜4時，x≥4時三種情況求得其面積建立模型．
（2）根據（1）函數是分段函數每一段根據函數的特點取得取大值，然后從中取最大的，作為原函數的最大值．

解答：解：（1）由題設，得f(x)=

4

x

（x＞0），（2分）
當x≤1時，S=

15

8

x2，
當1＜x＜4時，S=4-

x2

8

-

2

x2

，
當x≥4時，S=

30

x2

，
故S=

15 8 x2 x≤1 4- x2 8 - 2 x2 1＜x＜4 30 x2 x≥4

（8分）
（2）易知當x≤1時，S=

15

8

x2為單調遞增函數，S≤

15

8

，（10分）
當x≥4時，S=

30

x2

為單調遞減函數，S≤

15

8

，（12分）
當1＜x＜4時，S=4-

x2

8

-

2

x2

在區間（1，2）上單調遞增，在區間（2，4）上單調遞減，得

15

8

＜S≤3，
故S的最大值為3，
此時x=2．（16分）

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，主要涉及了分段函數求最值，基本思想是求每一段上取最大值，從中取最大的作為原函數的最大值．