Question

已知f(x)是定義在R上的函數,且滿足f(x)+f(x－1)=1,當x∈[0,1]時,f(x)= 現有4個命題:
　　①f(x)是周期函數,且周期為2;　　②當x∈[1,2]時,f(x)=2x－ ;　　③f(x)為偶函數;　　④f(－2005.5)= .
　　其中正確命題的個數是(　　 )
　　A.1　　　　B.2　　　　　 C.3　　　　　 D.4

Answer 1

解析：從認知f(x)的性質入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)　(※)　　∴f(x－2)=1－f(x－1)　 (※※)
　　∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)　∴f(x)為周期函數,且2是f(x)的一個周期.　　(1)由上述推理可知 ① 正確.
　　(2)當x∈[1,2]時,有x－1∈[0,1].∴由題設得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1) =2x－x ,　由此可知 ② 正確
　(3)由已知條件以及結果 ① ② 得 ,又f( )= ,　 ∴f( )≠f(－ )
　　∴f(x)不是偶函數即③不正確;
　　(4)由已知條件與f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f( )= 故④不正確.
　　于是由(1)(2)(3)(4)知,本題應選B.