Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于任意n∈N*，都有 成立，且．

（1）求，的值；

（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明．

Answer 1

（1）；（2），證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用賦值法，利用不等式和各項(xiàng)均為正整數(shù)進(jìn)行求解；（2）由數(shù)列的前三項(xiàng)猜想通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600547809744004_DA/SYS201503280600547809744004_DA.003.png"> ，

當(dāng)時(shí)，由，即有，

解得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600547809744004_DA/SYS201503280600547809744004_DA.009.png">為正整數(shù)，故．

當(dāng)時(shí)，由，

解得，所以．

（2）由，，，猜想：

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

1º當(dāng)，，時(shí)，由（1）知均成立．

2º假設(shè)成立，則，

由條件得，

所以，

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600547809744004_DA/SYS201503280600547809744004_DA.024.png">，，，

又，所以．

即時(shí)，也成立．

由1º，2º知，對(duì)任意，．

考點(diǎn)：1.賦值法；2.數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.數(shù)學(xué)歸納法．