Question

如下的三個圖中，左面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的主視圖和左視圖在右面畫出（單位：cm）．（1）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（2）在所給直觀圖中連結BC′，證明：BC′∥面EFG．

Answer 1

分析：（1）按照給出的尺寸，利用切割法得V=V_長方體-V_正三棱錐，代入體積公式求該多面體的體積；
（2）在長方體ABCD-A′B′C′D′中，連接AD′，根據條件和長方體的幾何特征證明EG∥BC′，再由線面平行的判定定理證明BC′∥面EFG．

解答：解：（1）由題意可得：
所求多面體體積V=V_長方體-V_正三棱錐
=4×4×6-

1

3

×

1

2

×2×2×2=

284

3

（cm²），
（2）證明：如圖，
由多面體的左視圖可得：點G、F分別是正方形的中點，
在長方體ABCD-A′B′C′D′中，連接AD′，
則AD′∥BC′
∵E，G分別為AA′，A′D′中點，
∴AD′∥EG，從而EG∥BC′，
又∵EG?平面EFG，BC′?平面EFG，
∴BC′∥平面EFG．

點評：本題主要考查由三視圖求面積、體積，求解的關鍵是由視圖得出幾何體的長、寬、高等性質，各種類型的幾何體求體積的公式；以及證明線面平行的判定定理以及證明過程．