Question

已知函數 ，為的導數.

（1）當時，求的單調區間和極值；

（2）設，是否存在實數，對于任意的，存在，使得成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）在單調遞減，在單調遞增，_極大=_極小=

（2）存在符合要求

【解析】

試題分析：（1）當時，，，

令得：、，                                       ……2分

所以在單調遞減，在單調遞增，              ……4分

所以_極大=_極小=                          ……6分

（2）在上是增函數，故對于，.

設.

，

由，得.                                               ……8分

要使對于任意的，存在使得成立，只需在上，

-， 

在上；在上，

所以時，有極小值                  ……10分

又，

因為在上只有一個極小值，故的最小值為  ……12分

 解得.                                 ……14分

考點：本小題主要考查用導數研究函數的單調性、極值、最值及探究性問題的求解.

點評：導數是研究函數性質的主要依據，研究性質時一定不要忘記考慮函數的定義域.