Question

過橢圓

x2

16

+

y2

4

=1內一點M（1，1）的弦AB．
（1）若點M恰為弦AB的中點，求直線AB的方程；
（2）求過點M的弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是直線的一般式方程及動點軌跡方程的求法，（1）由于弦AB過點M（1，1），故我們可設出直線AB的點斜式方程，聯立直線與圓的方程后，根據韋達定理（根與系數的關系），我們結合點M恰為弦AB的中點，可得到一個關于斜率k的方程，解方程求出k值后，代入整理即可得到直線AB的方程．（2）設AB弦的中點為P，則由A，B，M，P四點共線，易得他們確定直線的斜率相等，由此可構造一個關于x，y的關系式，整理后即可得到過點M的弦的中點的軌跡方程．

解答：解：（1）設直線AB的斜率為k，則AB的方程可設為y-1=k（x-1）．

y-1=k(x-1) x2 16 + y2 4 =1

得x²+4（kx+1-k）²=16
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4（1-k²）-16=0
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=

8k(k-1)

1+4k2

，
而M(1，1)是AB中點，則

x1+x2

2

=1．
綜上，得

8k(k-1)

1+4k2

=2，解得k=-

1

4

．
∴直線AB的方程為y-1=-

1

4

(x-1)，即x+4y-5=0．
（2）設弦AB的中點為P（x，y）
∵A，B，M，P四點共線，
∴k_AB=k_MP
即(-

1

4

)•

x1+x2

y1+y2

=

y-1

x-1

，而x1+x2=2x，y1+y2=2y
∴(-

1

4

)

2x

2y

=

y-1

x-1

，整理，得軌跡方程為x2+4y2-x-4y=0．

點評：在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況．