Question

過橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上一點P作圓x²+y²=2的兩條切線，切點為A，B，過A，B的直線與兩坐標軸的交點為M，N，則△MON的面積的最小值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  3

• C．

  1

  2

• D．2

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直線方程，從而可得三角形的面積，利用基本不等式可求最值．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2，
而PA、PB交于P（x₀，y₀）
即x₁x₀+y₁y₀=2，x₂x₀+y₂y₀=2，
∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=2
∴M（

2

x0

，0），N（0，

2

y0

）
∴S_△MON=

1

2

|OM|•|ON|=|

2

x0y0

|
∵|x₀y₀|=8|

x0

4

•

y0

2

|≤4（

x02

16

+

y02

4

）=4
∴S_△MON≥

1

2

當且僅當

x0

4

=

y0

2

時，△MON的面積的最小值為

1

2

故選C．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．