Question

若函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=2^x+1
（1）求f（0）的值．
（2）當x＜0時，函數f（x）的解析式．
（3）作出函數f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的定義，f（x）=-f（-x），令x=0可得f（0）的值．
（2）當x＜0時，-x＞0，結合當x＞0時，f（x）=2^x+1，及奇函數的定義，可得當x＜0時，函數f（x）的解析式．
（3）由已知及（2）中函數的解析式，結合指數函數的圖象，可得函數f（x）的圖象．

解答：解：（1）∵函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x），
令x=0，則f（0）=-f（0），
即f（0）=0
（2）當x＜0時，-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=2^x+1，
∴f（-x）=2^-x+1=-f（x），
∴f（x）=-2^-x-1=-（

1

2

）^x-1
（3）∵x＞0時，f（x）=2^x+1，
x=0時，f（0）=0
x＞0時，f（x）=-（

1

2

）^x-1
故函數f（x）的圖象如圖所示：

點評：本題考查的知識點是函數圖象的作法，函數解析式的求法，函數的值，函數奇偶性的定義，熟練掌握函數奇偶性的定義及性質是解答本題的關鍵．