Question

（2006•豐臺區一模）在四棱錐P-ABCD中，側面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面ABCD是面積為2

3

的菱形，∠ADC=60°，M是PB的中點．
（Ⅰ）求證PA⊥CD；
（Ⅱ）求二面角P-AB-D的度數；
（Ⅲ）求證平面PAB⊥平面CDM．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先取CD的中點E，連PE，AE，根據側面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直可得PE⊥底面ABCD；再結合底面ABCD是面積為2

3

的菱形，∠ADC=60°，即可證PA⊥CD；
（Ⅱ）直接根據CD∥AB，再結合（Ⅰ）所得 AE⊥AB，PA⊥AB可以得到∠PAE是二面角P-AB-D的平面角；再結合菱形的面積求出AB的長，進而求出∠PAE的度數即可；
（Ⅲ）取PA的中點N，連MN，DN，則MN∥AB∥CD，根據AD=PD得到PA⊥ND  結合PA⊥CD即可得PA⊥平面CDM，進而得到平面PAB⊥平面CDM．

解答：解：（Ⅰ）取CD的中點E，連PE，AE
因為△PCD為正三角形  所以   PE⊥CD
又底面ABCD⊥側面PCD，因為PE⊥底面ABCD      …（3分）
∠ADC=60°，AD=AC，∴△ADC為正三角形，
所以AE⊥CD    由三垂線定理PA⊥CD   …（5分）
（Ⅱ）因為 CD∥AB，由（Ⅰ）可得 AE⊥AB，PA⊥AB
∴∠PAE是二面角P-AB-D的平面角 …（7分）
因為菱形ABCD是面積S=AB²•sin60°=2

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，
∴AB=2=CD，PE=AE，∠PAE=45°；
即二面角P-AB-D為45° …（9分）
（Ⅲ）取PA的中點N，連MN，DN，則MN∥AB∥CD
所以 M、N、D、C四點共面，又 因為     AD=PD
∴PA⊥ND  又PA⊥CD
∴PA⊥平面CDM           …（12分）
所以  平面PAB⊥平面CDM                      …（14分）

點評：本題主要考查線線垂直以及面面垂直的證明和二面角的求法．在證明面面垂直時，一般先證明線線垂直，得到線面垂直，進而得到面面垂直．