Question

已知A、B是圓x²+y²=1與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F，使||PE|-|PF||為定值？若存在，求出E、F的坐標； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：設P（x，y），C（x，y），則D（x，-y），由A、C、P三點共線得直線方程，由D、B、P三點共線得直線方程，將兩式相乘得 而 x²+y²=1，從而y²=1-x² 即點P在雙曲線x²-y²=1上，根據雙曲線定義知，存在兩個定點E（-，0），F（，0）滿足條件．
解答：解：由已知得A（-1，0）、B（1，0），
設P（x，y），C（x，y），則D（x，-y），
由A、C、P三點共線得                 ①…（2分）
由D、B、P三點共線得                ②…（4分）
①×②得                           ③
又 x²+y²=1，∴y²=1-x²   代入③得  x²-y²=1，
即點P在雙曲線x²-y²=1上，…（10分）
故由雙曲線定義知，存在兩個定點E（-，0）、
F（，0）（即此雙曲線的焦點），使||PE|-|PF||=2
（即此雙曲線的實軸長） 為定值． …（13分）
點評：本題主要考查了三點共線，以及雙曲線的性質，同時考查了分析問題的能力和運算能力，屬于中檔題．