Question

【題目】【湖南省2017屆高三長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽(yáng)八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）】

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】試題分析：對(duì)于（1），先利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再寫出點(diǎn)斜式方程；

對(duì)于（2），方程可化為：，構(gòu)造，通過(guò)研究的單調(diào)性即可求出的范圍.

對(duì)于（3），首先根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍以及極值點(diǎn)；將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，然后構(gòu)建函數(shù)求出的最小值即可.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，有.

∵，∴，

∴過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，

即.

（2）當(dāng)時(shí)，有，其定義域?yàn)椋?/span>，

從而方程可化為：，

令，則，

由或；.

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∵關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是：或.

（3）∵的定義域?yàn)椋?/span>.

令.

又∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

∴有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

∴，且，

從而.

由不等式恒成立恒成立，

∵，

令，

∴，當(dāng)時(shí)恒成立，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.