Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f（x）=-x²-2x-2．
（1）求出函數f（x）（x∈R）的解析式；
（2）寫出函數f（x）（x∈R）的增區間；
（3）若函數g（x）=f（x）-2ax（x∈[1，2]），求函數的g（x）最小值．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質可得f（0）=0，再設x＞0，根據函數的表達式結合函數為奇函數的性質得f（x）=-f（-x）=x²-2x+2，最后綜合可得函數f（x）的表達式；
（2）由二次函數根據解析式即可求出單調區間；
（3）得到g（x）=x²-2x-2ax+2，問題即轉化為求二次函數在給定區間上的最值問題．

解答：解：（1）1°因為函數是奇函數，所以x=0時，f（0）=0
2°設x＞0，則-x＜0，根據當x＜0時，f（x）=-x²-2x-2，
得f（-x）=-x²+2x-2
∵f（x）為定義在R上的奇函數
∴f（x）=-f（-x）=x²-2x+2
綜上：f(x)=

-x2-2x-2    x＜0 0 x=0 x2-2x+2        x＞0

（2）函數f（x）（x∈R）的增區間為：（-∞，-1]，[1，+∞）
（3）由于函數g（x）=f（x）-2ax=x²-2（1+a）x+2（x∈[1，2]）
的圖象開口向上，對稱軸為x=1+a，
則①當a+1＜1即a＜0時，
函數g（x）在區間[1，2]上單調遞增，
故y_min=g（1）=1-2a；
②當1≤a+1≤2即0≤a≤1時，
函數g（x）在區間[1，a+1]上單調遞減，在區間（a+1，2]上單調遞增，
故y_min=g（a+1）=2-（a+1）²；
①當a+1＞2即a＞1時，
函數在區間[1，2]上單調遞減，
故y_min=g（2）=2-4a，
綜合可得，a＜0時，y_min=1-2a
0≤a≤1時，y_min=2-（a+1）²
a＞1時，y_min=2-4a．

點評：本題以二次函數和分段函數為例，著重考查了函數奇偶性的性質和奇偶性與單調性的綜合等知識點，屬于中檔題．