Question

已知二次函數f（x）=x2-ax+a（x∈R）同時滿足：（1）不等式f（x）≤0 的解集有且只有一個元素；（2）在定義域內存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立。設數列{an}的前n項和Sn=f（n）， （1）求數列{an}的通項公式； （2）設，求數列{bn}的前n項和； （3）設各項均不為零的數列{cn}中，所有滿足cici+1＜0的正整數的個數稱為這個數列{cn}的變號數。另（n為正整數），求數列{cn}的變號數。

Answer 1

解：（1）∵不等式f（x）≤0 的解集有且只有一個元素， ∴， ∵在定義域內，使得不等式成立， ∴函數y=f（x）在（0，+∞）上是遞減函數， 當a=0時，函數f（x）=x2在（0，+∞）上遞增， 故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立， 當a=4時，函數f（x）=x2-4x+4在（0，2）上遞減， 故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立； 綜上，得， 當n=1時，； 當n≥2時，； ∴； （2）∵，  ① ∴，  ② ①－②得： ， ∴； （3）由題設， ∵n≥3時，， ∴n≥3時，數列{cn}遞增， ∵，由，可知， 即n≥3時，有且只有1個變號數， 又∵，即， ∴此處變號數有2個， 數列{cn}共有3個變號數，即變號數為3。