Question

某地區預計明年從年初開始的前x個月內，對某種商品的需求總量f(x)（萬件）與月份x的近似關系為：f(x)=x(x+1)(35-2x)(x∈N^*,且x≤12).

（1）寫出明年第x個月的需求量g(x)（萬件）與月份x的函數關系，并求出哪個月份的需求量最大，最大需求量是多少？

（2）如果將該商品每月都投放市場p萬件（銷售未完的商品都可以在以后各月銷售），要保證每月都足量供應，問p至少為多少萬件？

Answer 1

解：（1）g(1)=f(1)=×1×2×33=(萬件).

    當x≥2時，g(x)=f(x)-f(x-1)

=x(x+1)(35-2x)-(x-1)x(37-2x)

=x·［（35+33x-2x²）-（-37+39x-2x²）］=x·（72-6x）=x·（12-x）

    當x=1時，g(x)也成立.

∴g(x)=x(12-x)(x∈N^*,且x≤12).

∵g(x)≤［］²=.

∴當x=12-x,即x=6時，g(x)_max=（萬件），

    故6月份該商品的需求量最大，最大需求量為萬件.

（2）依題意，對一切x∈{1，2，…，12}有

px≥g(1)+g(2)+…+g(x)=f(x).

∴p≥(x+1)(35-2x)(x=1,2,…，12).

∵h(x)=(35+33x-2x²)

=［-2(x-)²］

∴h（x）_max=h(8)=1.14.

    故p≥1.14，

    故每個月至少投入1.14萬件,才可以保證每個月都保證供應.