Question

某地區預計明年從年初開始的前x個月內，對某種商品的需求總量f（x）（萬件）與月份x的近似關系為：
f（x）=

1

150

x（x+1）（35-2x）（x∈N*，且x≤12）．
（1）寫出明年第x個月的需求量g（x）（萬件）與月x的函數關系，并求出哪個月份的需求量最大，最大需求量是多少？
（2）如果將該商品每月都投放市場p萬件（銷售未完的商品都可以在以后各月銷售），要保證每月都足量供應，問：p至少為多少萬件？

Answer 1

分析：（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即為g（1），當x≥2時，g（x）=f（x）-f（x-1）化簡得出解析式并求出當x為多少時g（x）的最大值即可；
（2）對一切x∈{1，2，12}有px≥f（x）列出不等式得到P≥一個函數，求出函數的最大值得到P的取值范圍．

解答：解：（1）g(1)=f(1)=

1

150

×1×2×33=

11

25

．
當x≥2時，g（x）=f（x）-f（x-1）=

1

150

x(x+1)(35-2x)-

1

150

(x-1)x(37-2x)=

1

150

x•[(35+33x-2x2)-(-37+39x-2x2)]=

1

150

x•(72-6x)=

1

25

x•(12-x)．
所以：g(x)=

11 25    x=1 1 25 x(12-x)  (x∈N*，2≤x≤12)

∵g(x)≤

1

25

[

x+(12-x)

2

]2=

36

25

．∴當x=12-x，即x=6時，g(x)max=

36

25

（萬件）．
故6月份該商品需求量最大，最大需求量為

36

25

萬件．
（2）依題意，對一切x∈{1，2，12}有px≥f（x）．
∴p≥

1

150

(x+1)(35-2x)（x=1，2，12）．
設h(x)=

1

150

(35+33x-2x2)，
∴h（x）_max=h（8）=1.14．故p≥1.14．
故每個月至少投放1.14萬件，可以保證每個月都保證供應．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力．理解函數最值及其意義．