Question

定義在(0 ， 

π

2

)上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）•tanx+f′（x）＜0成立，則（　　）

• A．

  2

  f(

  π

  3

  )＞f(

  π

  4

  )
• B．

  3

  f(

  π

  4

  )＞

  2

  f(

  π

  6

  )
• C．

  3

  f(

  π

  3

  )＞f(

  π

  6

  )
• D．

  3

  f(

  π

  3

  )＜f(

  π

  6

  )

Answer 1

分析：由題意可得f（x）sinx+f′（x）cosx＜0．構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

，x∈（0，

π

2

），有導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性，可得g（

π

6

）＞g（

π

3

），變形可得．

解答：解：因為x∈（0，

π

2

），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）•tanx+f′（x）＜0，可得f（x）•

sinx

cosx

+f′（x）＜0，
即f（x）sinx+f′（x）cosx＜0．
令g（x）=

f(x)

cosx

，x∈（0，

π

2

），
則g′（x）=

f′(x)cosx-f(x)(-sinx)

cos2x

=

f′(x)cosx+f(x)sinx

cos2x

＜0，
故函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

在區(qū)間（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，
故由g（

π

6

）＞g（

π

3

），即

f( π 6 )

3 2

＞

f( π 3 )

1 2

，
變形可得

3

f(

π

3

)＜f(

π

6

)
故選D

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題型．