Question

已知點(diǎn)P （4，4），圓C： 與橢圓E：的一個(gè)公共點(diǎn)為A（3，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與圓C相切。

（1）求m的值與橢圓E的方程；

（2）設(shè)D為直線PF₁與圓C 的切點(diǎn)，在橢圓E上是否存在點(diǎn)Q ，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由。

                           

 

Answer 1

【答案】

（1）m=1，橢圓E的方程為

（2）在橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)Q，使得PDQ是以PD為底的等邊三角形

【解析】解：（1）∵點(diǎn)A(3,1)在圓上，∴（3-m）²+1=5 又m<3    ∴m=1 ┉┉2分

設(shè)F₁(-c,0),∵P(4,4)  直線PF₁方程為4x-(4+c)y+4c=0    ---------3分

直線PF₁與圓C相切，  c=4.――――－4分

由得橢圓E的方程為――――――――6分

（2）直線PF₁方程為4x-8y+16=0，即x-2y+4=0

由得切點(diǎn)D（0，2）―――――7分

又P(4,4), 線段PD中點(diǎn)為M（2，3）―――――8分

又橢圓右焦點(diǎn)為F₂(4,0),  ―――10分

,線段PD垂直平分線的斜率為－2  ―――――――11分

，線段PD的垂直平分線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)――――13分

在橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)Q，使得PDQ是以PD為底的等邊三角形―――14分

（或與過(guò)點(diǎn)M的橢圓右側(cè)切線斜率比較說(shuō)明；或用判別式）