Question

若關于x的方程lnx-ax=0只有一個實根，則實數a的范圍是

（-∞，0]∪{

1

e

}

．

Answer 1

分析：求導函數，分類討論，確定函數的極值，討論極值情況，即可得到結論．

解答：解：設f（x）=lnx-ax，定義域為（0，+∞），則f'（x）=

1

x

-a=0，可得x=

1

a

當a≤0，f'（x）＞0，最多有一個實根，因為x＞0，且x→0時，f（x）＜0，f（1）≥0，所以（0，1]之間必有一個實根
a＞0，0＜x＜

1

a

時，函數單調遞增，x＞

1

a

時，函數單調遞減，f（

1

a

）=-lna-1為極大值，此極大值若為0的話，則有一個實根，此時a=

1

e

此極大值若大于0的話，會有兩個實根，此極大值若小于0的話，則無實根．
因此a的取值范圍為：（-∞，0]∪{

1

e

}
故答案為：（-∞，0]∪{

1

e

}．

點評：本題利用導數解決方程根的個數問題，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．