Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）滿足：對任意實數x，都有f（x）≥x，且當x∈（1，3）時，有成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，f（x）的表達式；
（3）設，x∈[0，+∞），若g（x）圖上的點都位于直線的上方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知f（2）≥2恒成立，又由成立得（2）≤，由此兩種情況可得f（2）=2．
（2）f（-2）=0，由（1）證明知f（2）=2，f（x）的表達式中有三個未知數，由兩函數值只能得出兩個方程，再對任意實數x，都有f（x）≥x，這一恒成立的關系得到一0，由此可以得到a=，將此三方程聯立可解出三個參數的值，求出f（x）的表達式；
（3）方法一：由題f（x）圖象（在y軸右側）總在直線上方即可，也就是直線的斜率小于直線與拋物線相切時的斜率位置，由于f（x）圖象與y軸交點在直線與y軸交點上方，在與y軸相交點處的切線斜率為，故在直線與二次函數相切的切點處一定有切線的斜率大于直線的斜率，且＞，將兩個方程聯立，用判別式為0求m的最大值．
方法二：必須恒成立，即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．
轉化為二次函數圖象與x軸在x∈[0，+∞）無交點的問題，由于g（x）的單調性不確定，故本題要分兩種情況討論，一種是對稱軸在y軸右側，此時需要判別式小于0，一類是判別式大于0，對稱軸小于0，且x=0處的函數值大于等于0，轉化出相應的不等式求解．
解答：解：（1）由條件知f（2）=4a+2b+c≥2恒成立
又∵取x=2時，與恒成立，
∴f（2）=2．
（2）∵
∴4a+c=2b=1，
∴b=，c=1-4a
又f（x）≥x恒成立，即ax²+（-1）x+1-4a≥0恒成立．
∴，整理得
故可以解出：，
∴．
（3）解法1：由分析條件知道，只要f（x）圖象（在y軸右側）總在直線上方即可，也就是直線的斜率小于直線與拋物線相切時的斜率位置，
于是：
∴．
解法2：必須恒成立，
即x²+4（1-m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．
①△＜0，即[4（1-m）]²-8＜0，解得：；
②
解出：．又時，經驗證不合題意
總之，．
點評：本題是二次函數的一道綜合題，考查到了分類討論的思想，對分析轉化的推理能力要求較高．