Question

(本題滿分15分) 已知拋物線C的頂點在原點, 焦點為F(0, 1).

(Ⅰ) 求拋物線C的方程;

(Ⅱ)  在拋物線C上是否存在點P, 使得過點P

的直線交C于另一點Q, 滿足PF⊥QF, 且

PQ與C在點P處的切線垂直?

若存在, 求出點P的坐標; 若不存在,請說明理由.

Answer 1

本題主要考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。

(Ⅰ)  解: 設拋物線C的方程是x² = ay,

則,        即a = 4 .

故所求拋物線C的方程為x² = 4y .             …………………(5分)

(Ⅱ) 解:設P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) ,

則拋物線C在點P處的切線方程是： ,

直線PQ的方程是：  .

將上式代入拋物線C的方程, 得：,

故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,

所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .

而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),

×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1

＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1

＝－2y₁ －－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)

＝(y₁＋1)²－＝＝0,

故 y₁＝4, 此時, 點P的坐標是(±4,4) .  經檢驗, 符合題意.

所以, 滿足條件的點P存在, 其坐標為P(±4,4). ………………(15分)