Question

（2013•保定一模）設函數f（x）=

1

3

x3+

a-1

2

x2-ax+a，其中a＞0．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若方程f（x）=0在（0，2）內恰有兩個實數根，求a的取值范圍；
（3）當a=1時，設函數f（x）在[t，t+2]（t∈（-3，-2））上的最大值為H（t），最小值為h（t），記g（t）=H（t）-h（t），求函數g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導數，分別令導數大于0，小于0，可得單調區間；
（2）由函數的單調性可知原問題等價于f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，解之可得；
（3）由單調性和t的范圍可得函數最大值H（t）=f（-1）=

5

3

，最小值h（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者，比較可得最小值g（-2）=

4

3

，可得答案．

解答：解：（1）由題意可得f′（x）=x²+（a-1）x-a=（x+a）（x-1），（a＞0）
令f′（x）＞0可得x＜-a，或x＞1，令f′（x）＜0可得-a＜x＜1，
故函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-a）和（1，+∞），單調遞減區間為（-a，1）；
（2）由（1）知f（x）在（0，1）單調遞減，（1，2）單調遞增，
方程f（x）=0在（0，2）內恰有兩個實數根等價于f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，
解得0＜a＜

1

3

，所以a的取值范圍為（0，

1

3

）
（3）當a=1時，f（x）=

1

3

x3-x+1，由（1）知f（x）在（-3，-1）單調遞增，
在（-1，1）單調遞減，所以，當t∈[-3，-2]時，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，
所以函數f（x）在[t，-1]上單調遞增，[-t，t+3]上單調遞減，
故函數f（x）在[t，t+3]上的最大值H（t）=f（-1）=

5

3

，
而最小值h（t）為f（t）與f（t+3）中的較小者，
由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，當t∈[-3，-2]時，f（t）≤f（t+3），故h（t）=f（t）
所以g（t）=f（-）-f（t），而f（t）在[-3，-2]上單調遞增，因此f（t）≤f（-2）=

1

3

，
所以g（t）在[-3，-2]上的最小值g（-2）=

5

3

-

1

3

=

4

3

，
即函數f（x）在[-3，-2]上的最小值為

4

3

點評：本題考查函數和導數的綜合應用，涉及函數的單調性和最值，屬中檔題．