Question

設實數x，y滿足

2x+y-2≥0 y≥2x-2 y≤2

，則x²+y²的取值范圍是（　　）

• A．[

  4

  5

  ，8]
• B．[1，2

  2

  ]
• C．[1，8]
• D．[

  2 5

  5

  ，2

  2

  ]

Answer 1

分析：由題意，畫出題中不等式組表示的平面區域，得到如圖的三角形及其內部，設P（x，y）是區域內的動點，由兩點間的距離公式可得：z=x²+y²=|OP|²，再運動點P并加以觀察即可求出z=x²+y²的取值范圍．

解答：解：畫出不等式組

2x+y-2≥0 y≥2x-2 y≤2

表示的平面區域如圖，
得到三角形及其內部，其中A（1，1），
設P（x，y）是區域內的動點，可得z=x²+y²=|OP|²，
運動點P，當點P與A重合時，|OP|取到最大值，
此時|OP|≤|OA|=2²+2²=8，
當P與原點O在直線2x+y-2=0上的射影重合時，|OP|取到最小值，此時|OP|=

2

5

，
則x²+y²的取值范圍是[

4

5

，8]．
故選A．

點評：本題給出不等式組，求目標函數z=x²+y²的取值范圍．著重考查了兩點的距離公式和簡單線性規劃等知識，屬于基礎題．