Question

某廠準備投資100萬元生產A，B兩種新產品，據測算，投產后的年收益，A產品是投入數的，B產品則是投入數開平方后的2倍，設投入B產品的數為x²（0＜x≤10）萬元．
（Ⅰ）設兩種產品的總收益為P（x），求P（x）的解析式；
（Ⅱ）怎樣分配投入數，使總收益P（x）最大．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，投入A產品的數為100-x²（0＜x≤10）萬元，
因為投產后的年收益，A產品是投入數的，B產品則是投入數開平方后的2倍，
所以P（x）=（100-x²）+2x=-x²+2x+20（0＜x≤10）；
（Ⅱ）P（x）=-x²+2x+20=-（x-5）²+25
∵0＜x≤10，
∴x=5時，總收益P（x）最大為25萬元．
此時，A產品投入75萬元；B產品投入25萬元．
分析：（Ⅰ）確定投入A產品的數，利用投產后的年收益，A產品是投入數的，B產品則是投入數開平方后的2倍，可得P（x）的解析式；
（Ⅱ）利用配方法，可求函數的最值，從而可得結論．
點評：本題考查函數模型的構建，考查配方法求函數最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．