Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經過點，一條直線與橢圓C交于，兩點，以為直徑的圓經過坐標原點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）因為橢圓經過點，所以，再根據離心率，即可求得橢圓的方程；

（2）①若直線的斜率存在時，，，，與橢圓方程聯立，由可得，從而得到的關系，結合點到直線的距離公式，可證明結論；②若直線的斜率不存在，則有，可證結論也成立.

（1）因為橢圓經過點，所以，

又因為，則，由，得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）①若直線的斜率存在時，設，與橢圓方程聯立得：

，有，

由題意，，設，，

所以，．

因為以為直徑的圓過原點，

由，得 ，

即，整理得，

，

而

設h為到的距離，則

所以，

而，

所以．

②若直線的斜率不存在，則有，

不妨設，設，有，

代入橢圓方程得，，

，

即，

綜上．