Question

已知定義在R上的函數f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函數．
（I）求實數a的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并用單調性定義證明；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由于定義在R上的函數f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函數，可得f（0）=0，由此求得a的值．
（Ⅱ）由上可得 f（x）=

1-2x

2x+1

=

2

1+2x

-1，利用函數的單調性的定義證明函數f（x）是R上的減函數．
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=
f（-2t²+k） 恒成立，等價于3t²-2t-k＞0恒成立，故有判別式△=4+12k＜0，由此求得k的范圍．

解答：解：（I）由于定義在R上的函數f（x）=

a-2x

2x+1

 是奇函數，
故有f（0）=0，即

a-1

2

=0，解得 a=1．
（Ⅱ）由上可得 f（x）=

1-2x

2x+1

=

2

1+2x

-1，設x₁＜x₂，
可得f（x₁）-f（x₂）=（

2

1+2x1

-1）-（

2

1+2x2

-1）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

．
由題設可得2x2-2x1＞0，（1+2x2）（1+2x1）＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故函數f（x）是R上的減函數．
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k） 恒成立，
等價于 t²-2t＞-2t²+k恒成立，等價于3t²-2t-k＞0恒成立，故有判別式△=4+12k＜0，
解得k＜-

1

3

，故k的范圍為（-∞，-

1

3

）．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數的恒成立問題，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．