思路解析:緊扣單調函數的定義是研究函數單調性的重要方法.
解:任取x1,x2∈R,且-∞＜x1＜x2＜+∞,
f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)=(x13-x23)-3(x1-x2)=(x1-x2)［(x22+x1x2+x12)-3］.
∵ x1＜x2,∴x1-x2＜0.令x1=x2=t,則x22+x1x2+x12-3=3t2-3=0.
∴t=-1,1.
①在區間(-∞,-1)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0.
∴f(x1)＜f(x2).∴函數f(x)=x3-3x在區間(-∞,-1)上是增函數；
②在區間(-1,-1)上,x22+x1x2+x12＜3,∴ x22+x1x2+x12-3＜0.
∴f(x1)＞f(x2).∴函數f(x)=x3-3x在區間(-1,1)上是減函數；
③在區間(1,+∞)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0.
∴f(x1)＜f(x2).∴函數f(x)=x3-3x2-9x在區間(1,+∞)上是增函數.
深化升華
利用函數的單調性的定義可以研究函數的單調區間.求單調區間的關鍵是找到增、減變化的分界點.在“作差”“變形”后,一部分的符號已經確定,而一部分的符號不確定,分析這一部分的符號變化就可以找到增、減分界點,而x1,x2是定義域上任意取的,在此可以認為x1,x2無限接近于某個值,再令這部分等于零即可求得增、減分界點.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
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在x=1處的導數。
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