Question

已知如圖（1），正三角形ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足

CE

CA

=

CF

CB

，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．
（Ⅰ）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AB∥平面DEF，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AB∥平面DEF內(nèi)一直線平行即可，而根據(jù)比例關系可知AB∥EF；
（Ⅱ）過D點作DG⊥AC于G，連接BG，根據(jù)二面角平面角定義可知∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，∠BGD是二面角B-AC-D的平面角，在Rt△BDG中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，
∵E、F分別是AC、BC上的點，且滿足

CE

CA

=

CF

CB

=k，
∴AB∥EF．（2分）
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF．（5分）
（Ⅱ）過D點作DG⊥AC于G，連接BG，

∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角．（7分）
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BGD．∴BG⊥AC．
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角．（9分）
在ADC中，AD=a，DC=

3

a，AC=2a，
∴DG=

AD•DC

AC

=

3 a2

2a

=

3 a

2

．（11分）
在Rt△BDG中，tan∠BGD=

BD

DG

=

2 3

3

．（13分）

點評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．