Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BB₁=BC=2．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）直線AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BB₁=BC=2．我們易求出棱柱的底面積，代入棱柱體積公式即可求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）要求直線AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正弦值，我們要先找到B₁點在平面AA₁C₁C上的射影，進而找到直線AB₁在平面AA₁C₁C上的射影，解三角形即可得到直線AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

解答：解：（1）VA1B1C1-ABC=sh=

3

4

×22×2=2

3

．（3分）
（2）令E為A₁C₁中點，連B₁E，則B₁E⊥面ACC₁A₁．
再連AE，得∠B₁AE為AB₁與面ACC₁A所成角．（6分）
在Rt△AB₁E中，B1E=

3

，AB1=2

2

，∴sin∠B1AE=

3

2 2

=

6

4

．
故直線AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正弦值

6

4

．（8分）

點評：本題考查的知識點是棱柱的結構特征及直線與平面所成的角，其中要求線面夾角，找出直線上除斜足上任一點在平面上的射影（垂足），進而構造也線面夾角的平面角是解答的關鍵．