Question

【題目】已知無窮數列滿足：，．

（Ⅰ）若；

（ⅰ）求證：；

（ⅱ）數列的前項和為且，求證：；

（Ⅱ）若對任意的，都有，寫出的取值范圍并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析（Ⅱ），見解析

【解析】

（Ⅰ）（ⅰ）首先根據已知條件推出與的大小關系，計算出，然后求出的取值范圍，從而可使問題得證；（ⅱ）首先根據條件求出，然后求出，從而結合（ⅰ）的結論使問題得證；

（Ⅱ）首先分，，三種情況求出的取值范圍，然后當時，求出的取值范圍，從而可推出在時，當時，，不符合題意，即可求解的取值范圍．

（Ⅰ）證明：（ⅰ），

①，∵，∴，∴，

②假設時，，則，

∴時，，，

由①②對一切正整數都有，

∴，

∴，

∴，

∴，

但當時，，

∴．

（ⅱ）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

由（ⅰ）知，

∴．

（Ⅱ）∵對任意的，都有，

且，∴顯然，由（I）證明知，

①若，則，∴，∴；

②若，則為常數列，∴；

③若，則，∴，

又，

若，則，則，

∴，

∴當時，有，

∴當時，，不符合題意．

綜上可知，。