Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω＞0，記函數f(x)=(

a

+

b

)•

b

-

1

2

（1）若f（x）的圖象中兩條相鄰對稱軸間的距離

π

2

，求ω及f（x）的單調減區間．
（2）在（1）的條件下，且x∈[-

π

6

，

π

6

]，求最大值．

Answer 1

分析：利用向量的數量積坐標表示，結合二倍角及和差角公式可得，f（x）=sin（2ωx-

π

6

）
（1）由題意可得函數的周期T=π，代入周期公式T=

2π

2ω

可求ω，從而可得f（x）=sin（2x-

π

6

），令

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤ 

3π

2

+ 2kπ，k∈Z可求
（2）由-

π

6

≤x≤

π

6

求出-

π

2

≤2x- 

π

6

≤

π

6

，結合正弦函數的圖象可求函數的最值．

解答：解：（1）由條件得f(x)=

3

sinωxcosωx+sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)
∵f（x）的圖象中兩條相鄰對稱軸間的距離

π

2

∴T=π∴ω=1∴f(x)=sin(2x-

π

6

)
∴單調減區間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]k∈Z
（2）由（1）得f(x)=sin(2x-

π

6

)∵x∈[-

π

6

，

π

6

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]
令2x-

π

6

=t，則t∈[-

π

2

，

π

6

]
∴f（t）=sint當t=

π

6

，即x=

π

6

時，函數f（x）取最大值為

1

2

點評：本題以向量的數量積為載體，主要考查了三角函數的二倍角公式，兩角差的正弦公式，函數的對稱性、周期、函數的單調區間、三角函數的在閉區間上的最值的求解．