Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=（sinωx，sinωx），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=2

a

•

b

，f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間和f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡得f（x）=2sin(2ωx-

π

6

)+1，再由正弦函數(shù)周期公式，建立ω的等式并解之即可得ω的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到f（x）的單調(diào)減區(qū)間．再根據(jù)正弦函數(shù)的值域和函數(shù)取最大值時x的取值，解關(guān)于x的方程即可得到f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合．

解答：解：∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=（sinωx，sinωx）
∴

a

•

b

=

3

sinωxcosωx+sin²ωx=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1-cos2ωx）
故f（x）=2

a

•

b

=

3

sin2ωx-cos2ωx+1=2sin(2ωx-

π

6

)+1…（4分）
（1）∵f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離為

π

2

∴可得

T

2

=

π

2ω

=

π

2

，解之得ω=1．…（6分）
（2）由（1）得f （x）=2sin（2x-

π

6

）+1
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

3

，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

3

]，k∈Z…（8分）
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），即x=

π

3

+kπ時，函數(shù)的最大值f_max（x）=3
∴f（x）的最大值為3，取得最大值時x的取值集合為{x|x=

π

3

+kπ，k∈Z}…（12分）

點評：本題以向量的數(shù)量積運算為載體，給出三角函數(shù)式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期，并求取得最大值時x的取值集合，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．