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已知函數和點P(1,0),過點P作曲線y=f(x)的兩條切線PM、PN,切點分別為M、N.
(Ⅰ)設|MN|=g(t),試求函數g(t)的表達式;
(Ⅱ)是否存在t,使得M、N與A(0,1)三點共線.若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,若對任意的正整數n,在區間內總存在m+1個實數a1,a2,…,am,am+1,使得不等式g(a1)+g(a2)+…+g(am)<g(am+1)成立,求m的最大值.
【答案】分析:(I)設出M、N兩點的橫坐標分別為x1、x2,對函數求導得到切線的斜率,寫出切線的方程,根據切線過一個點,得到一個方程,根據根與系數的關系寫出兩點之間的長度,得到函數的表示式.
(II)根據三點共線寫出其中兩點連線的斜率相等,整理出最簡單形式,把上一問做出的結果代入,求出t的值.
(III)根據前面做出的函數只一個增函數,寫出不同的自變量對應的函數值的不等關系,根據對于任意的正整數都成立,得到m的取值范圍,得到最值.
解答:解:(Ⅰ)設M、N兩點的橫坐標分別為x1、x2

∴切線PM的方程為:,
又∵切線PM過點P(1,0),∴有,
即x12+2tx1-t=0,(1)
同理,由切線PN也過點P(1,0),得x22+2tx2-t=0.(2)
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的兩根,∴(*)
=
把(*)式代入,得,
因此,函數g(t)的表達式為
(Ⅱ)當點M、N與A共線時,kMA=kNA,
=,即=,
化簡,得(x2-x1)[t(x2+x1)-x1x2]=0
∵x1≠x2,∴t(x2+x1)=x2x1.(3)
把(*)式代入(3),解得
∴存在t,使得點M、N與A三點共線,且
(Ⅲ)知g(t)在區間上為增函數,
(i=1,2,,m+1),

依題意,不等式對一切的正整數n恒成立,
,
對一切的正整數n恒成立.
,∴
.由于m為正整數,∴m≤6.
又當m=6時,存在a1=a2═am=2,am+1=16,對所有的n滿足條件.
因此,m的最大值為6.
點評:本題考查函數的綜合題目,主要應用導函數求最值來解題,本題解題的關鍵是正確應用導數,本題是一個綜合題目,綜合性比較強,可以作為高考卷的壓軸題.
練習冊系列答案
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已知函數數學公式和點P(1,0),過點P作曲線y=f(x)的兩條切線PM,PN,切點分別為M(x1,y1),N(x2,y2).
(1)求證:x1,x2是關于x的方程x2+2tx-t=0的兩根;
(2)設|MN|=g(t),求函數g(t);
(3)在(2)的條件下,若在區間[2,16]內總存在m+1個實數a1,a2,…,am+1,使得不等式g(a1)+g(a2)+…+g(am)<g(am+1)成立,求實數m的最大值.

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(Ⅱ)是否存在t,使得M、N與A(0,1)三點共線.若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,若對任意的正整數n,在區間內總存在m+1個實數a1,a2,…,am,a m+1,使得不等式g(a1)+g(a2)+…+g(am)<g(a m+1)成立,求m的最大值.

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