Question

已知函數和點P（1，0），過點P作曲線y=f（x）的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N．
（Ⅰ）設|MN|=g（t），試求函數g（t）的表達式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N與A（0，1）三點共線．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數n，在區間內總存在m+1個實數a₁，a₂，…，a_m，a _m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a _m+1）成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
∵，
∴切線PM的方程為：，
又∵切線PM過點P（1，0），
∴有，即x₁²+2tx₁﹣t=0，（1）
同理，由切線PN也過點P（1，0），得x₂²+2tx₂﹣t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx﹣t=0的兩根，
∴（*）
=，把（*）式代入，得，
因此，函數g（t）的表達式為．
（Ⅱ）當點M、N與A共線時，k_MA=k_NA，
∴=，即=，
化簡，得（x₂﹣x₁）[t（x₂+x₁）﹣x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，
∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得．
∴存在t，使得點M、N與A三點共線，且．
（Ⅲ）知g（t）在區間上為增函數，
∴（i=1，2,...，m+1），則．依題意，不等式對一切的正整數n恒成立，，即對一切的正整數n恒成立．
∵，
∴，
∴．由于m為正整數，∴m≤6．
又當m=6時，存在a₁=a₂═a_m=2，a _m+1=16，對所有的n滿足條件．
因此，m的最大值為6．