Question

（已知橢圓 經過點其離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點.求到直線距離的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；(Ⅱ)

試題分析：（Ⅰ）由離心率為，得①，又過點，得②，聯立①②求；
(Ⅱ)直線和圓錐曲線的位置關系問題，一般會根據已知條件結合韋達定理列式確定參數的值或者取值范圍，設直線：，聯立橢圓方程，消去，得關于的二次方程，設，利用韋達定理將點的坐標表示出來，，因為在橢圓上，代入橢圓方程，得的等式①，點到直線的距離為，聯立①得關于，或的函數，進而求其最小值，再考慮斜率不存在時的情況，求最小值，然后和斜率存在時候的最小值比較大小，得結論.
試題解析：（Ⅰ）由已知，所以, ①  又點在橢圓上，所以，     ②  由①②解之得,故橢圓的方程為 ；
(Ⅱ)當直線有斜率時，設時，則由
消去得，
，  ③
設則，由于點在橢圓上，所以，從而，化簡得，經檢驗滿足③式，又點到直線的距離為：，并且僅當時等號成立；當直線無斜率時，由對稱性知，點一定在軸上，從而點為，直線為，所以點到直線的距離為1，所以點到直線的距離最小值為.