Question

已知函數f（x）=

1

1+x2

（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）確定函數f（x）在（-∞，0）上是增函數還是減函數？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性的定義進行判斷．（2）利用函數的單調性的定義進行判斷證明．

解答：解：（1）因為函數為f（x）=

1

1+x2

，所以定義域為R，關于原點對稱…（2分）
因為f(-x)=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f(x)，
所以函數f（x）為偶函數．…（6分）
（2）在區間（-∞，0）上任取x₁＜x₂＜0，
則f(x1)-f(x2)=

1

1+ x 2 1

-

1

1+ x 2 2

=

x 2 2 - x 2 1

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1+x2)(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
因為x₁＜x₂＜0，所以x₁+x₂0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函數f（x）在（-∞，0）上是增函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，要求熟練掌握利用定義法去判斷和證明函數的性質．