Question

已知f(x)=1+sin

π

2

x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=

 

．

Answer 1

分析：分別把x=1，2，3，…，2009代入f（x）求出各項，除過2009個1外，根據誘導公式和特殊角的三角函數值可得：從sin

π

2

開始每連續的四個正弦值相加為0，因為2009除以4余數是1，所以把最后一項的sin（

2009π

2

）利用誘導公式求出值即可得到原式的值．

解答：解：由f(x)=1+sin

π

2

x，
則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）
=1+sin

π

2

+1+sinπ+1+sin

3π

2

+1+sin2π+1+sin

5π

2

+…+1+sin

2009π

2

=2009+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+（sin

5π

2

+sin3π+sin

7π

2

+sin4π）+…+（sin

2005π

2

+sin1003π+sin

2007π

2

+sin1004π）
+sin

2009π

2

=2009+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+…+（sin

π

2

+sinπ+sin

3π

2

+sin2π）+sin

2009π

2

=2009+0+0+…+0+sin（2×502π+

π

2

）
=2009+1
=2010
故答案為：2010

點評：此題是一道基礎題，要求學生靈活運用誘導公式化簡求值，牢記特殊角的三角函數值．做題時要找出每四項的正弦值為0這個規律．