Question

設a+b+c=1，a²+b²+c²=1且a＞b＞c．求證：-

1

3

＜c＜0．

Answer 1

分析：為了求證c的不等式，設法構造出一個關于c的不等關系，本題考慮到a²+b²與a+b的關系，構造出ab，最后利用方程有根的條件解決．

解答：證明：∵a²+b²+c²=1，
∴（a+b）²-2ab+c²=1．
∴2ab=（a+b）²+c²-1=（1-c）²+c²-1=2c²-2c．
∴ab=c²-c．
又∵a+b=1-c，
∴a、b是方程x²+（c-1）x+c²-c=0的兩個根，且a＞b＞c．
令f（x）=x²+（c-1）x+c²-c，則

△＞0 1-c 2 ＞c?- 1 3 ＜c＜0 f(c)＞0.

；
即可得證．

點評：本題主要考查了不等式的證明，采用了構造法，是一道解法富有新意的題目．