Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形， 底面， ， 為棱中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）若為中點(diǎn)， ，試確定的值，使二面角的余弦值為.

Answer 1

【答案】(I) 見(jiàn)解析; (II) .

【解析】試題分析：（1）證明線(xiàn)面垂直，一般利用線(xiàn)面垂直判定定理，即從線(xiàn)線(xiàn)垂直出發(fā)給予證明，而線(xiàn)線(xiàn)垂直的尋找與論證，往往從兩個(gè)方面進(jìn)行，一是利用條件中的線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，二是利用平幾知識(shí)，如等腰三角形性質(zhì)得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，(2)研究二面角的大小，一般方法為利用空間向量數(shù)量積，即先根據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求出兩法向量夾角，再根據(jù)二面角與兩法向量夾角關(guān)系列方程，解出參數(shù).

試題解析：(I)證明：∵底面， 底面，∴，

又∵底面為矩形，∴， ， 平面， 平面，

∴平面，又平面，∴， ， 為中點(diǎn)，∴， ， 平面， 平面，∴平面.

(II) 以為原點(diǎn)，以為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，令，

則， ， ， ， ， ， ，　　　， ，

設(shè)平面的法向量， ，即，

設(shè)平面的法向量， ，

即，

，解得.