Question

某個凸多面體有32個面，各面是三角形或五邊形，每個頂點處的棱數(shù)都相等，則這個凸多面體的頂點數(shù)可以是　　　　　　      

 

Answer 1

答案：30或20
解析：

解：設多面體的面有n個三角形，32－n個五邊形，頂點數(shù)為V，棱數(shù)為E， 則E+2=V+32， 若每個頂點處有3條棱，則 E=V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(160－2n)， 代入得V+2=V+32, 解得V=60, 此時n=－10（舍去）； 若每個頂點處有4條棱，則 E=2V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得2V+2=V+32, 解得V=30, 此時n=20；即有20個三角形和12個五邊形； 若每個頂點處有5條棱，則 E=V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得V+2=V+32, 解得V=20, 此時n=30；即有30個三角形和2個五邊形； 若每個頂點處有6條棱，則 E=3V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得3V+2=V+32, 解得V=15, 此時n=35.(舍去)