Question

某個凸多面體有32個面，各面是三角形或五邊形，每個頂點處的棱數都相等，則這個凸多面體的頂點數可以是（　　）

• A、60
• B、45
• C、30
• D、15

Answer 1

分析：設出這個凸多面體有n個面是三角形，則是五邊形的面有32-n個，寫出總棱數的表示式，根據歐拉定理寫出v與m的關系式，然后討論這個不定方程的自然數解．得到結果

解答：解：設這個凸多面體有n個面是三角形，則是五邊形的面有32-n個，此時總棱數
E=

3n+5(32-n)

2

=80-n條．
由歐拉定理可知，V+32-E=2，
∴V=50-n．
又設每個頂點處的棱數為m條（其中3≤m≤5且m∈N*），
由于每個頂點處的棱數都相等，則總棱數E=

mV

2

條，
由歐拉定理可知，V=

60

m-2

，
∴50-n=

60

m-2

（其中3≤m≤5且m∈N*）．然后討論這個不定方程的自然數解：
當m=3時，可得n=-10，不合題意，舍去；
當m=4時，可得n=20，∴V=30；
當m=5時，可得n=30，∴V=20．
故選C．

點評：本題考查歐拉函數與歐拉定理，是一個基礎題，解題的關鍵需要寫出所有的可能的情況，這里應用分類討論思想，注意做到不重不漏．