Question

已知函數(shù)（m＞0，m≠1）的圖象恒通過(guò)定點(diǎn)（a，b）．設(shè)橢圓E的方程為（a＞b＞0）．
（1）求橢圓E的方程．
（2）若動(dòng)點(diǎn)T（t，0）在橢圓E長(zhǎng)軸上移動(dòng)，點(diǎn)T關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為S（m，n），求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)函數(shù)的解析式求出定點(diǎn)（a，b）的坐標(biāo)，進(jìn)而得到a和b的值，從而得到橢圓E的方程．
（2）利用點(diǎn)與其對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直，以及點(diǎn)與其對(duì)稱點(diǎn)的連線的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，求出對(duì)稱點(diǎn)S（m，n），
設(shè)ϕ（t）=，利用它的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷其單調(diào)性，由單調(diào)性求ϕ（t）的最值，進(jìn)而得到的取值范圍．
解答：解：（1）∵當(dāng)x=2時(shí)，，
∴函數(shù)f（x）的圖象通過(guò)定點(diǎn)．
∴
所求橢圓的方程為．
（2）∵點(diǎn)T與點(diǎn)S關(guān)于直線對(duì)稱，
∴，
解方程組得．
設(shè)，
∵ϕ′（t）=-2t²-1＜0，
∴ϕ（t）在區(qū)間[-2，2]上是減函數(shù)．
∵ϕ（-2）=11，ϕ（2）=-9，
∴的取值范圍是[-9，11]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的性質(zhì)，求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求函數(shù)的值域的方法．