Question

已知函數f（x）=x²+mx+n（m∈R，n∈R）．
（1）若n=1時，“至少存在一個實數x₀，使f（x₀）＜0成立”（命題表示為?x∈R，使f（x）＜0成立）為假命題，求m的取值范圍；
（2）命題P：函數y=f（x）在（0，1）上有兩個不同的零點，命題Q：-2＜m＜0，0＜n＜1．試分析P是Q的什么條件，并說明理由．（是充要條件、充分不必要條件、必要條件、既不充分也不必要條件）

Answer 1

分析：（1）先將“至少存在一個實數x₀，使f（x₀）＜0成立”為假命題，轉化為“?x∈R，f（x）≥0恒成立”為真命題．從而f（x）=x²+mx+n≥0恒成立，利用根的判別式即可求m的取值范圍；
（2）先說明充分性，P：函數y=f（x）在（0，1）上有兩個不同的零點，則

m2-4n＞0 0＜- m 2 ＜1 f(0)＞0 f(1)＞0

，求得n的取值范圍：0＜n＜1，所以P是Q的充分條件；反之，當-2＜m＜0，0＜n＜1時，取特殊值可得函數y=f（x）沒有零點，從而P是Q的不必要條件；綜上即可得出結論．

解答：解：（1）“至少存在一個實數x₀，使f（x₀）＜0成立”為假命題，則“?x∈R，f（x）≥0恒成立”為真命題．所以f（x）=x²+mx+n≥0恒成立，
所以△=m²-4n≤0，n=1，m²≤4，-2≤m≤2；                             （7分）
（2）P是Q的充分不必要條件．
充分性：P：函數y=f（x）在（0，1）上有兩個不同的零點，
則

m2-4n＞0 0＜- m 2 ＜1 f(0)＞0 f(1)＞0

，則

m2＞4n -2＜m＜0 n＞0

，
故4n＜1，即0＜n＜1，所以P是Q的充分條件；                             （11分）
當-2＜m＜0，0＜n＜1時，
取m=-

1

2

，n=

1

2

，則△=m2-4n＜0，
函數y=f（x）沒有零點，
所以P是Q的不必要條件；
綜上：P是Q的充分不必要條件．                                           （15分）

點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用、充要條件的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．