Question

設a，b，c∈（0，

π

2

），且滿足等式cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，試比較其大小，并說明理由．

Answer 1

考點：不等式比較大小

專題：導數的綜合應用,三角函數的求值,不等式的解法及應用

分析：利用導數研究函數的單調性：分別證明y=sinx-x為（0，

π

2

）上的減函數，f（x）=sin（cosx）-x為（0，

π

2

）上的減函數，g（x）=cos（sinx）-x為（0，

π

2

）上的減函數，即可得出．

解答： 解：先證明當x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x．
設y=sinx-x，則y′=cosx-1＜0，∴y=sinx-x為（0，

π

2

）上的減函數，∴y＜sin0-0=0，即sinx＜x．
同理可證明f（x）=sin（cosx）-x為（0，

π

2

）上的減函數，g（x）=cos（sinx）-x為（0，

π

2

）上的減函數，
∵sina＜a，
∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，
∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，

π

2

），
∴a＜c
同理∵x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa，
∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0，
∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，

π

2

），
∴a＞b
綜上所述，b＜a＜c．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．