Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)．試根據(jù)這一定義，證明下列命題：若直線y=kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)M（，1），則此直線不能經(jīng)過兩個(gè)有理點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)此直線上有兩個(gè)有理點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁、y₁、x₂、y₂均為有理數(shù)，⇒y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，兩式相減，得y₁-y₂=k（x₁-x₂）．由斜率k存在⇒⇒k為有理數(shù)．⇒也是有理數(shù)．再由點(diǎn)M（，1）在此直線上⇒（k≠0）．⇒矛盾，得到結(jié)論．
解答：證明：假設(shè)此直線上有兩個(gè)有理點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁、y₁、x₂、y₂均為有理數(shù)，則有y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，兩式相減，得y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∵斜率k存在，∴x₁≠x₂，得．
而有理數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算后還是有理數(shù)，
故k為有理數(shù)．
又由y₁=kx₁+b知，b也是有理數(shù)．
又∵點(diǎn)M（，1）在此直線上，∴，于是有（k≠0）．此式左端為無理數(shù)，右端為有理數(shù)，顯然矛盾，故此直線不能經(jīng)過兩個(gè)有理點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題主要通過反證法來數(shù)的性質(zhì)和數(shù)的運(yùn)算．