Question

A是△BCD所在平面外的點，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.

（1）求證：AB⊥CD；

（2）求AB與平面BCD所成角的余弦值.

Answer 1

（1）證明：如圖，

∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3，

∴△ABC≌△ABD，BC=BD.

取CD的中點M，連AM、BM，則CD⊥AM，CD⊥BM.

∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.

（2）解：由CD⊥平面ABM，則平面ABM⊥平面BCD，這樣∠ABM是AB與平面BCD所成的角.

在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，

∴BC=.

在△ACD中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=.

在Rt△BCM中，BC=，CM=1，∴BM=

∴cosABM=.