Question

點P是直線2x+y+10=0上的動點，直線PA、PB分別切圓x²+y²=4于A、B兩點，則四邊形PAOB（O為坐標原點）的面積的最小值=

 

．

Answer 1

分析：由題意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB則要求S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA的最小值，轉化為求PA最小值，由于PA²=PO²-4，當PO最小時，PA最小，結合點到直線的距離公式可知當PO⊥l時，PO有最小值，由點到直線的距離公式可求

解答：解：由題意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB
S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA
又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA²=PO²-4，當PO最小時，PA最小，此時所求的面積也最小
點P是直線l：2x+y+10=0上的動點，
當PO⊥l時，PO有最小值d=

10

5

=2

5

，PA=4
所求四邊形PAOB的面積的最小值為8
故答案為：8

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系中的重要類型：相切問題的處理方法，解題中要注意對性質的靈活應用，體現了轉化思想在解題中的應用．