Question

設函數f（x）=|x+1|+|2x-1|
（I）畫出函數y=f（x）的圖象；
（II）若對任意x∈（-∞，0]，f（x）≤ax+b恒成立，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（I）通過去掉絕對值符號，得到分段函數，即可畫出函數y=f（x）的圖象；
（II）結合函數的圖象，對任意x∈（-∞，0]，f（x）≤ax+b恒成立，通過直線y=ax+b與y=-3x的斜率及y=2-x在y軸上的截距，求a-b的最大值．

解答：解：由于函數f（x）=|x+1|+|2x-1|，
所以函數f（x）=

-3x ，  x≤-1     2-x，    -1＜x≤ 1 2 3x，    x＞ 1 2

，
則函數y=f（x）的圖象如圖所示．
（II）結合函數圖象，比較直線y=ax+b與y=-3x的斜率及y=2-x在y軸上的截距，
當且僅當

a≤-3 b≥2

時，不等式f（x）≤ax+b在x∈（-∞，0]上恒成立．
∴a-b≤5，即a-b的最大值為：-5．

點評：本題考查函數的圖象直線的斜率以及直線的焦距的應用，考查計算能力．